Published on 11.28.2024 by Vorashil Farzaliyev
Matris və Xətti Transformasiyaların Əlaqəsi
Xətti transformasiyalar və matrislər xətti cəbrin əsas anlayışlarından biridir və bir-biriləri ilə sıx bağlıdır. Bu bölmədə onların əlaqəsini araşdıracağıq.
Xətti Transformasiya
Xətti transformasiya bir vektor sahəsindən başqa bir vektor məkanına gedən bir funksiyadır. Formal olaraq, $T: V \to W$ xətti transformasiyası aşağıdakı iki şərti ödəməlidir:
- Cəbri xassə: $T(u + v) = T(u) + T(v)$, burada $u, v \in V$.
- Skalyar xassə: $T(cu) = cT(u)$, burada $c \in \mathbb{R}$ (və ya $\mathbb{C}$).
Matrislərin Rolu
Bir xətti transformasiya müəyyən bir baza nəzərə alınaraq matris şəklində təmsil edilə bilər. Bu təmsil etmənin addımları:
-
Baza seçimi: $V$ və $W$ üçün uyğun bazalar seçilir: $$ B_V = {v_1, v_2, \ldots, v_n}, \quad B_W = {w_1, w_2, \ldots, w_m}. $$
-
Transformasiyanın təsiri: $T$ transformasiyası $B_V$ bazasındakı hər bir $v_i$ vektoruna təsir göstərir və nəticə $W$-nin $B_W$ bazasında ifadə olunur: $$ T(v_i) = \sum_{j=1}^m a_{ji} w_j. $$
-
matris qurulması: Bu koeffisiyentlər $A = [a_{ji}]$ matrisində toplanır, burada $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ (və ya $\mathbb{C}^{m \times n}$).
Matris və Transformasiya Əlaqəsi
Bu matris xətti transformasiyanı aşağıdakı şəkildə təmsil edir: $$ [T]_B(x) = A \cdot [x]_B, $$ burada $[x]_B$ vektorun seçilmiş bazaya görə koordinatlarıdır.
Nümunə
$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ xətti transformasiyası belə təyin olunmuş olsun: $$ T(x, y) = (2x + y, x - y). $$
Bu halda $T$ transformasiyasını matris şəklində yazmaq üçün standart baza $B = {e_1, e_2}$ (burada $e_1 = (1, 0), e_2 = (0, 1)$) istifadə olunur:
- $T(e_1) = T(1, 0) = (2, 1)$.
- $T(e_2) = T(0, 1) = (1, -1)$.
Bu nəticələri sütunlar kimi istifadə edərək matrisi qururuq: $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix}. $$
Beləliklə, hər hansı $(x, y)$ vektoru üçün transformasiya aşağıdakı kimi olur: $$ T(x, y) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}. $$
Nəticə
matrislər xətti transformasiyaları hesablamaq və anlamaq üçün güclü alətlərdir. Onlar xətti xəritələri koordinat şəklində təsvir edir və bu, həm nəzəri, həm də tətbiqi problemlərdə effektivdir.
Written by Vorashil Farzaliyev
← Back to subject