Published on 01.20.2025 by Vorashil Farzaliyev

Real Analiz: Limit və Törəmə Mövzusu üzrə Dərs Planı

Bu dərs planı tələbələrin real analiz sahəsində limit və törəmə anlayışlarını sistemli və dərin şəkildə mənimsəmələrini təmin etmək üçün hazırlanmışdır. Hər bir bölmə tələbələrin anlayışlarını möhkəmləndirmək və tətbiqetmə bacarıqlarını artırmaq məqsədilə strukturlu şəkildə təqdim edilmişdir.

1. Dərsin Məqsədi

Tələbələr bu dərs vasitəsilə real analiz sahəsində limit və törəmə anlayışlarını dərinləşdirərək, onların təməl prinsiplərini öyrənəcək, müxtəlif funksiyaların limitlərini hesablamağı və törəmələrini tapmağı bacaracaqlar. Əlavə olaraq, törəmə qaydalarını tətbiq edərək mürəkkəb funksiyaların diferensialını müəyyən etmək qabiliyyətləri inkişaf etdiriləcək.

2. Terminlər və Təriflər

• Real Analiz: Riyaziyyatın funksiyaların limitləri, ardıcıllıqları, törəmələri və inteqraları üzərində qurulmuş bir sahəsi.

• Funksiya: Hər bir giriş dəyərinə bir çıxış dəyəri təyin edən riyazi obyekt.

• Limit: Funksiyanın müəyyən bir nöqtəyə yaxınlaşdıqca aldığı dəyərin yaxınlaşdığı rəqəm.

• Törəmə (Diferensial): Funksiyanın müəyyən bir nöqtədəki dəyişmə sürətini ifadə edən riyazi ölçü.

• Epsilon-Delta Qaydası: Limitin rəsmi tərifi üçün istifadə olunan metodologiya.

• Sonsuza Gedən Limit: Funksiyanın daxil dəyişəni sonsuzluğa yaxınlaşdıqca limitinin müəyyən bir dəyərə yaxınlaşması.

• Tək Tərəfli Limit: Funksiyanın daxil dəyişəni müəyyən bir nöqtəyə yaxınlaşarkən yalnız sağdan və ya soldan nəzərdən keçirilməsi.

• Ardıcıl Limit: Funksiyanın ardıcıllıqla yaxınlaşdığı nöqtədəki limit dəyəri.

3. Əsas Nəzəriyyə və Qanunlar

Limitlərin Əsas Qanunları

• Cəmləmə Qanunu: $$ \lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x) $$

• Çıxma Qanunu: $$ \lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x) $$

• Çarpma Qanunu: $$ \lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x) $$

• Bölmə Qanunu: $$ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)} \quad \text{(Əgər } \lim_{x \to c} g(x) \neq 0\text{)} $$

Epsilon-Delta Qaydası

Funksiyanın $f(x)$ nöqtədə $c$ limitinin $L$ olması üçün hər hansı $\epsilon > 0$ üçün uyğun $\delta > 0$ tapmaq lazımdır ki, $$ |f(x) - L| < \epsilon $$ şərti $$ 0 < |x - c| < \delta $$ olduqda yerinə yetirilsin.

Törəmə Qaydaları

• Cəmləmə Qanunu: $$ (f + g)‘(x) = f’(x) + g’(x) $$

• Çıxma Qanunu: $$ (f - g)‘(x) = f’(x) - g’(x) $$

• Çarpma Qanunu (Produkt Qanunu): $$ (f \cdot g)‘(x) = f’(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g’(x) $$

• Bölmə Qanunu: $$ \left(\frac{f}{g}\right)‘(x) = \frac{f’(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g’(x)}{[g(x)]^2} \quad \text{(Əgər } g(x) \neq 0\text{)} $$

• Zəncir Qanunu (Chain Rule): $$ (f \circ g)‘(x) = f’(g(x)) \cdot g’(x) $$

Əsas Törəmə Teoremləri

• Polinomların Törəməsi: Hər bir polinom funksiyası hər hansı nöqtədə törəmə sahibdir.

• İracional və Transsendent Funksiyaların Törəməsi: Müəyyən şərtlər altında törəmə sahibdirlər.

4. Nümunələr

Nümunə 1: Limit Hesablama

Tapşırıq: $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $$

Həll: $$ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \quad (x \neq 2) $$ $$ \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 $$

Nümunə 2: Epsilon-Delta Qaydası ilə Limitin Sübutu

Tapşırıq: $$ \lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7 $$

Sübut:

Verilmiş $\epsilon > 0$ olsun. $\delta$ seçimi: $$ |2x + 1 - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3| < \epsilon \Rightarrow |x - 3| < \frac{\epsilon}{2} $$ Beləliklə, $\delta = \frac{\epsilon}{2}$

Əgər $0 < |x - 3| < \delta$, onda $|2x + 1 - 7| < \epsilon$. Beləliklə, limit sübut edilmişdir.

Nümunə 3: Törəmə Hesablama

Tapşırıq: $$ f(x) = x^3 - 5x + 2 $$ $f’(x)$ tapın.

Həll: $$ f’(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(2) = 3x^2 - 5 + 0 = 3x^2 - 5 $$

Nümunə 4: Tək Tərəfli Limit

Tapşırıq: $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty $$

Həll:

$x$ sağdan $0$-a yaxınlaşdıqca, $\frac{1}{x}$ sonsuz dəyərə yaxınlaşır. $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty $$

Nümunə 5: Sonsuza Gedən Limit Hesablama

Tapşırıq: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x + 1}{x^3 + x^2} = 5 $$

Həll:

Ən yüksək dərəcəli terminlərə baxaq: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x + 1}{x^3 + x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{5 - 0 + 0}{1 + 0} = 5 $$

Nümunə 6: Törəmə Qaydalarının Tətbiqi

Tapşırıq: $$ f(x) = e^{2x} \cdot \sin(x) $$ $f’(x)$ tapın.

Həll:

Produkt qaydasını tətbiq edək: $$ f’(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) \cdot \sin(x) + e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x)) = 2e^{2x} \cdot \sin(x) + e^{2x} \cdot \cos(x) = e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x)) $$

Nümunə 7: Zəncir Qanunun Tətbiqi

Tapşırıq: $$ f(x) = \sqrt{3x^2 + 2x + 1} $$ $f’(x)$ tapın.

Həll:

Zəncir qaydasını tətbiq edək. İlk öncə xarici funksiyanı $g(u) = \sqrt{u}$, daxili funksiyanı isə $u(x) = 3x^2 + 2x + 1$ kimi götürək. $$ f’(x) = g’(u(x)) \cdot u’(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x^2 + 2x + 1}} \cdot (6x + 2) = \frac{6x + 2}{2\sqrt{3x^2 + 2x + 1}} = \frac{3x + 1}{\sqrt{3x^2 + 2x + 1}} $$

Nümunə 8: Törəmənin Tətbiqi ilə Funksiyanın Artım/Dəyişmə Analizi

Tapşırıq: $$ f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 $$ $f’(x)$ tapın və funksiyanın artdığı və azaldığı intervalları müəyyən edin.

Həll:

Əvvəlcə törəməni tapın: $$ f’(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 $$ Faktorizasiya edək: $$ f’(x) = 4(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 4(x - 1)^3 $$ $f’(x) = 0$ üçün $x = 1$.

• Artma İntervalı: $f’(x) > 0$ üçün $x > 1$
• Azalma İntervalı: $f’(x) < 0$ üçün $x < 1$

Beləliklə, $f(x)$ funksiyası $x < 1$ üçün azalan, $x > 1$ üçün isə artandır.

5. Dəlillər və Sübutlar

Sübut 1: Epsilon-Delta Qaydası ilə Limitin Sübutu

Teorem: $$ \lim_{x \to c} f(x) = L \quad \text{əgər hər } \epsilon > 0 \text{ üçün uyğun } \delta > 0 \text{ mövcuddursa ki, } 0 < |x - c| < \delta \text{ olduqda } |f(x) - L| < \epsilon \text{.} $$

Sübut:

Tutaq ki, $\lim_{x \to c} f(x) = L$. Bu deməkdir ki, funksiyanın $c$ nöqtəsinə yaxınlaşdıqca dəyərləri $L$ yaxınlaşır. Epsilon-Delta qaydasına əsasən, hər $\epsilon > 0$ üçün $\delta > 0$ tapmaq lazımdır ki, $$ 0 < |x - c| < \delta $$ olduqda $$ |f(x) - L| < \epsilon $$ şərti yerinə yetirilsin.

Bu şərt teoremin tərifidir və bu səbəbdən sübut sadəcə olaraq tərifin təkrarıdır.

Sübut 2: Törəmə Qanunlarından biri – Cəmləmə Qanunu

Teorem: $$ (f + g)‘(x) = f’(x) + g’(x) $$

Sübut: $$ (f + g)‘(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(f(x + h) + g(x + h)) - (f(x) + g(x))}{h} = \lim_{h \to 0} \left[\frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h}\right] $$ $$ = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} = f’(x) + g’(x) $$

Bu da cəmləmə qanununun sübutudur.

6. Nəticələr

Bu dərsdə tələbələr aşağıdakı əsas nəticələri əldə edəcəklər:

• Funksiya limitinin rəsmi tərifini başa düşmək və tətbiq etmək.
• Müxtəlif limit hesablama üsullarını və limit qanunlarını tətbiq edərək limitləri hesablamaq.
• Törəmə anlayışını və onun riyazi təyinini mənimsəmək.
• Törəmə qaydalarını tətbiq edərək müxtəlif funksiyaların törəmələrini hesablamaq.
• Epsilon-Delta qaydasını istifadə edərək limitlərin sübutlarını həyata keçirmək.

7. Tapşırıqlar

Tapşırıq 1: Aşağıdakı limitləri hesablamaq:

a) $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $$

b) $$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 - x + 1} $$

Tapşırıq 2: Aşağıdakı funksiyaların törəmələrini tapın:

a) $$ f(x) = \sqrt{x} $$

b) $$ g(x) = e^{2x} \cdot \ln x $$

Tapşırıq 3: Epsilon-Delta qaydası ilə $$ \lim_{x \to 1} (3x + 2) = 5 $$ limitini sübut edin.

Tapşırıq 4: Aşağıdakı funksiyanın tərs törəməsini tapın: $$ h(x) = \frac{x^3 - 2x + 1}{x} $$

Tapşırıq 5: Törəmə qaydalarını tətbiq edərək aşağıdakı funksiyaların törəmələrini tapın:

a) $$ f(x) = \sin(x) \cdot e^x $$

b) $$ g(x) = \frac{\ln x}{x^2} $$

Tapşırıq 6: Zəncir Qanununu tətbiq edərək aşağıdakı funksiyaların törəmələrini tapın:

a) $$ f(x) = \sqrt{5x^2 + 4x + 3} $$

b) $$ g(x) = \sin(e^{x}) $$

Tapşırıq 7: Verilmiş funksiyanın artma və azalma intervallarını müəyyən edin: $$ f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 $$

8. Əlavə Resurslar

• Kitablar:

  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (Azərbaycan dilində tərcüməsi varsa)
  • Michael Spivak, Calculus

• Online Resurslar:

  • Khan Academy - Limit və Törəmə (Azərbaycan dilində mövcud olan resurslar)
  • Coursera - Real Analysis Kursları (Subtitrə və ya tərcümə seçimi ilə)

• Videolar:

  • YouTube üzərindən “Real Analiz”, “Limit Hesablama”, “Törəmə Qaydaları” mövzularında Azərbaycan dilində tədris videoları.

• Onlayn Hesablama Alətləri:

  • Wolfram Alpha – Limit və törəmə hesablamaq üçün interaktiv vasitə.

Bu dərs planı tələbələrin real analizdə limit və törəmə mövzularını sistemli və dərin şəkildə mənimsəmələrini təmin etmək üçün hazırlanmışdır. Hər bir bölmə tələbələrin anlayışlarını möhkəmləndirmək və tətbiqetmə bacarıqlarını artırmaq məqsədilə strukturlu şəkildə təqdim edilmişdir.

Written by Vorashil Farzaliyev